بحث الريآضيآت ..:- حل نظام من ثلآث معادلآت خطيـة

WE-0813

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
مسألة

* حل النظام الآتي ، ثم تحقَّق من صحّة الحلِّ :
س + ص + ع = 0
3 س + 7 ص = 5
2 ص - 3 ع = 1

معلومات سابقة

* حلّ النظام الآتي جبريا وهندسيا :
3 س+ ص=7،
2 ص- 3س= - 4.

الشرح

تعلمت
حلّ نظام مكوّن من معادلتين خطيتين بمتغيرين بالحذف أو بالتعويض، أو من خلال التمثيل البياني .
وسنتعرف اليوم إلى حلِّ نظام مكون من ثلاث معادلات خطية بثلاثة متغيرات بطرائق عدّة .
مثال(1) :
استخدم طريقة الحذف لحلِّ نظام المعادلات الآتية:
2 س + 3 ص + ع = 4 ...............1
س – 5 ص – ع = 7 .................2
3 س + 4 ص – 2 ع = 3 ...............3
الحل :
نأخذ معادلة 1، 2 ونحذف المتغير ع، ثم نأخذ المعادلتين 2 ، 3 ونحذف المتغير ع أيضا
ثم نكتب المعادلتين الجديدتين، فيصبح النظام مكونا من معادلتين خطيتين بمتغيرين، ونحلُّه كما تعلمنا سابقا.
2 س + 3 ص + ع = 4 ................1
+ س – 5 ص – ع = 7 .................2
3 س - 2 ص = 11 ......4
( س – 5 ص – ع = 7 .................2 ) ×(- 2 )
- 2 س + 10 ص + 2 ع = -14 .......2 بعد ضرب المعادلة 2 في العدد (-2 )
+ 3س + 4 ص – 2 ع = 3 ...............3
س + 14 ص = - 11 .........5
نحلُّ النظام الجديد:
3 س - 2 ص = 11 ......4
( س + 14 ص = - 11 .........5 ) × - 3
أي أن
3 س - 2 ص = 11 ......4
- 3 س - 42 ص = 33 .......5
إذن :
- 44 ص = 44 أي أن ص = - 1
ومن خلال التعويض في بعض المعادلات السابقة تجد أنّ :
س = 3 ، ع = 1
فحل النظام هو : س = 3، ص = - 1 ،ع = 1
تحقّق من صحّة الحلِّ.
سؤال :
حلَّ النظام السابق باستخدام التعويض .
يمكن حلُّ النظام السابق باستخدام المصفوفات كما يلي :
1) ترتب معاملات س في العمود الأول، ومعاملات ص في العمود الثاني، ومعاملات ع في العمود الثالث.

2س + 3 ص + ع = 4 ...............1

س – 5 ص – ع = 7 .................2

3 س + 4 ص – 2 ع = 3 ...............3
مَثِّلِ النظام بالمصفوقات :

2) نجد محددة مصفوفة المعاملات التي نرمز لها مثلا ً بالرمز أ:

| أ | =2 × 14 – 3 × 1 + 1 × 19 = 44
3)
نغير العمود الأول في المصفوفةأ( الذي يمثل معاملات المتغير س ) بمصفوفة
الحدود المطلقة ، ويرمزللمصفوفة الناتجة بالرمزأس، ثم نجد محددتها :

| أس | = 4 × 14 – 3 × - 11 + 1 × 43 = 132
4) ثم نجد | أص| ، | أع |:

5) ثم نجد قيم كل من س ، ص ، ع كما يلي:
أي أن
س = 3
ص = - 1
ع = 1
تسمى الطريقة السابقة بـ قاعدة (كريمر) . ولكن هل يمكن تطبيق هذه الطريقة لحلِّ النظام إذا كانت | أ | = 0 ؟
نتيجة :
يمكن استخدام قاعدة (كريمر) لحلِّ نظام من ثلاث معادلات خطية بثلاثة متغيرات بشرط أنَّ | أ|≠ 0

الاستنتاج

نستنتج:

- يُحَلُّ نظامٌ من ثلاث معادلات خطية بثلاثة متغيرات، إما بالحذف أو التعويض أو باستخدام المصفوفات .
* حلّ النظام الآتي باستخدام إحدى الطرائق التي تعلمتها في الدرس:
3 س+ ص – ع = 2
س – 2 ص + ع = - 9
4 س + 3 ص + 2 ع = 1

بالتوفيق ياربــــــــــــــــــ[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

» نظام سخان الماء الفوري