اللوغاريتمات

موضوع: اللوغاريتمات الخميس أكتوبر 13, 2011 6:32 pm

اللوغاريتمات

تمهيد

مفهوم اللوغاريتم The Concept of Logarithm

تمهيد : نعلم من دراستنا في مراحل سابقة أن :

1000 = (10)3 = 10 1 × 10 1 × 10 1 (نكتبها عادة 10 × 10 × 10)
81 = 3 4 = 3 × 3 × 3 × 3
343 = 7 3 = 7 × 7 × 7
64 = 2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
وعندما نكتب 25 = 5 2 يمكننا أن نطلق بعض التسميات المتفق عليها هي :
العدد وهو في مثالنا 25
الأساس (Base) وهو في مثالنا 5 .
القوة (Power) أو الأسExponentأو الدليلIndex أو اللوغاريتمLogarithm ، وهو في مثالنا = 2

إذن المصطلحات قوة = أس = دليل = لوغاريتم يمكن اعتبارها مترادفات ، ويستخدم أي واحد منها عند إجراء العمليات الحسابية أو التعبير عنها .

تدريب :
8 = 2 3
العدد هو ____ . الأساس هو _____ . القوة أو الأس أو الدليل أو اللوغاريتم هو _____.

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

وفي
الدراسة التالية سنقصر استخدامنا على واحد من هذه المصطلحات الأربعة وهو
مصطلح لوغاريتم (دون إلغاء المصطلحات الأخرى) حيث سنعالج هذا المفهوم بشيء
من التعمق .

مثلاً :
إذا علمت أن
10000 = 10 4
فالعدد هو 10000 ، الأساس هو 10 ، اللوغاريتم هو 4

تدريبات :

تدريب (1) : حدد الأساس واللوغاريتم في كل مما يلي :

4) 15625 = 5 6 3) 256 = 4 42) 100000 = 10 51) 81 = 9 2

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

تدريب (2) : ما لوغاريتم العدد في كل حالة مما يلي :

العدد 32 والأساس (2) . العدد 1000000 والأساس (10) . العدد 16 والأساس (4) .
العدد 125000 والأساس (50).
العدد 8000 والأساس (20) .

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

تدريب (3) : أكمل الفراغين في الجملة التالية :

القوة التي إذا ارُفِعَ إليها الأساس أنتج العدد تسمى اللوغاريتم
مثلاً : ____ العدد 36 للأساس 6 = ________

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

مفهوم اللوغاريتم The Concept of Logarithm

تمهيد :اللوغاريتمات
هي موضوع أساس في علم الرياضيات كما أنها أساسية في عمل وتنظيم برامج
الحاسوب ، وفي الكثير من القوانين العلمية الهامة مثل حساب أعمار الصخور ،
وعمر الكون ، وأعمار اللوحات والآثار القديمة ، ودرجة الحموضة وغيرها .

رمز اللوغاريتم في كتب الرياضيات : إذا فتحت كتاباً في الرياضيات لدراسة موضوع اللوغاريتمات Logarithms تجد أن الكلمة تختصر ويستخدم لها رمزاً بسيطاً هو " لو" في الكتب العربية و " Log " في
الكتب باللغة الإنجليزية ، ونلفت انتباه الدارسين هنا إلى أن الكتب
العربية والإنجليزية قد تستخدم رموزاً أخرى غير ما ذكرنا أعلاه فهذه رموز
غير ملزمة وغير متفق عليها دولياً .

أمثلة :
Log9 81 = 2
1) لـو9 81 = 2
Log5 3125 = 5
2) لـو5 3125 = 5
Log10 1000 = 3
3) لـو10 1000 = 3

والمثال
(3) استخدمنا فيه الأساس (10) وبالنظر لأن نظامنا العددي هو نظام عشري
(آحاد ، عشرات ، مئات ... الخ حيث كل منزلة أكبر من سابقتها بعشر مرات) ،
فقد اتفق العلماء منذ زمن بعيد على استخدام لوغاريتم الأعداد للأساس (10)
في الرياضيات ، لذلك نستخدم في كتبنا وكتابتنا المختصر لو فقط للدلالة على
اللوغاريتم الذي أساسه (10) فلا نكتب لو10010 = 2 بل نكتب لو100 = 2 .

ولكن اللوغاريتمات موجودة لأساسات أخرى غير العشرة كما شاهدنا ، فقد يكون
الأساس 2 ، 3 ، 4 ... الخ في مثل هذه الحالات نضع الأساس مع الرمز لو وبذلك
نعرف أن المقصود ليس اللوغاريتم العشري

أمثلة :

لـو5 25 = 2 بينما لـو 25 = 1.4 ( ما الأساس في هذه الحالة ؟ ) . لاحظ أن 10 < 25 < 100
لـو2 16 = 4 بينما لـو 16 = 1.2 ( ما الأساس في هذه الحالة ؟ ) . لاحظ أن 10 < 16 < 100
لـو18 324 = 2 بينما لـو 324 = 2.5 ( ما الأساس في هذه الحالة ؟ ) . لاحظ أن 10 < 324 < 1000

العلاقة بين اللوغاريتمات والنظام العشري الذي نستخدمه في كتابة الأعداد في الرياضيات .
لعل الكثير منا لم يفكر بأن نظامنا العددي العشري مبني على اللوغاريتمات العشرية وإليكم الدليل :

لـو العدد في هذه المنزلة < 1 $اللوغاريتمات L19$ 10صفر = 1 (منزلة الآحاد) ، حيث صفر
لـو العدد في هذه المنزلة < 2 $اللوغاريتمات L19$ 110 = 10 (منزلة العشرات) ، حيث 1
لـو العدد في هذه المنزلة < 3 $اللوغاريتمات L19$ 210 = 100 (منزلة المئات) ، حيث 2

وهكذا
أما

لـو العدد في هذه المنزلة < صفر
$اللوغاريتمات L19$ 10-1 = 0.1 (الأجزاء من عشرة) ، حيث -1
لـو العدد في هذه المنزلة < -1
$اللوغاريتمات L19$ 10-2 = 0.01 (الأجزاء من مئة) ، حيث -2
لـو العدد في هذه المنزلة < -2
$اللوغاريتمات L19$ 10-3 = 0.001 (الأجزاء من ألف) ، حيث -3

مثال محلول (1) :
ما المتباينة التي تمثل لو العدد 5613.42 ؟

الحل :
متباينة العدد 1000.000 < العدد 5613.42 < 10000.000
أي أنه محصور بين 1000 و 10000
ولكن لو 1000.000 = 3 (1000 = 10 3)
وكذلك لو 10000.000 = 4 (10000 = 10 4 )
إذن 3 < لو العدد 5613.42 < 4
وعلى ذلك فإن لوغاريتم أي عدد تنطبق عليه المتباينة التالية :
1000 $اللوغاريتمات L19$ العدد < 10000
يكون 3 $اللوغاريتمات L19$ لو العدد < 4

للمناقشة : ما متباينة لوغاريتم العدد 561.342 ؟ [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

مثال محلول (2) :
ما المتباينة التي تمثل لو العدد 0.851 ؟

الحل :
لنكتب متباينة العدد 0.1 < 0.851 < 1
لكن لو 0.1 = ـ1 لو 1 = صفر
إذن ـ1 < لو 0.851 < صفر

وعموماً لوغاريتم أي عدد يحقق المتباينة 0.1 $اللوغاريتمات L19$ العدد < 1
يكون
ـ1 $اللوغاريتمات L19$ لو العدد < صفر

للمناقشة : ما متباينة لوغاريتم العدد 0.00851 ؟ [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

تدريب :

1) أي مما يلي يحتمل أن يكون لوغاريتم العدد 57.532 ، فسر جوابك .
أ- 2.76 ب- 1.76 ج- 0.76 د- 1.76-

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

2) أي مما يلي يحتمل أن يكون لوغاريتم العدد 0.06607 (ملاحظة الإشارة فوق العدد 1- تعني أن العدد سالب) .
أ- 1.82- ب- ـ0.82 ج- 1 د- 2.82-

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

أتعرف ما ناتج عملية القسمة $اللوغاريتمات L8$

إنه = 10 3 - 2 = 10 1 والتي نكتبها باختصار 10
حيث أن القوة إذا كانت (1) فقد اتفق على عدم كتابتها عادة ، أما إذا استدعى الأمر كتابتها أو التذكير بها فيجب أن تكتب.

إذن عند قسمة أعداد متشابهة بقوى مختلفة (أو متشابهة) نحصل على ناتج القسمة عن طريق طرح القوى ، مثلاً :
$اللوغاريتمات L9$

مثال : ما ناتج قسمة $اللوغاريتمات L10$

الجواب معروف
لديك ، إنه (1) ، وقد تتساءل ما هذا السؤال البديهي الذي تطرحه علي والذي
يعرف جوابه طفل في الصف الأول الأساسي ، إن لديك كل الحق في ذلك . ولكن
دعنا نعود لسؤالنا مرة أخرى ، ونطبق عليه قاعدة طرح القوى عند القسمة إذن

$اللوغاريتمات L11$

ولكن الجميع يعرف $اللوغاريتمات L12$ إذن 10 صفر = 1
ان هذا يساوي 72 1 – 1 = 72صفر ، وهو يساوي (1)
$اللوغاريتمات L13$ والآن ما رأيك بأن نقسم

ما رأيك بأن تقسم كل عدد من الأعداد التالية على نفسه
5 ، 4.02 ، 1321 ، 16252.213 ، 0.035 إلخ
هل وصلت إلى نتيجة مفادها أن سصفر = 1 مهما كانت قيمة العدد س كبيرة أم صغيرة ، صحيحة أم كسراً ، موجبة أم سالبة .
$اللوغاريتمات L14$ يمكنك أن تضع أمثلة لا نهاية لها من النوع

إذن أكمل العبارة التالية :
أي عدد مرفوع للقوة ـــــ= 1

الخلاصة : إذا كان بج = أ ، فإنه يمكن أن نكتب $اللوغاريتمات L16$

إن $اللوغاريتمات L16$ هي شكل آخر للعلاقة بج = أ
مثلاً $اللوغاريتمات L17$ هي شكل آخر للعلاقة 64 = 4 3
وكذلك لو1000 = 4 هي شكل آخر للعلاقة 1000 = 10 4

تدريب : اكتب الشكل الآخر لكل مما يلي :

1- لو 100000 = 5 $اللوغاريتمات L18$
3- 625 = 5 4 4- 729 = 3 6

كيف نجد لوغاريتم عدد معروف
أولاً : إيجاد لوغاريتمات الأعداد باستخدام الجداول اللوغاريتمية

1 ، 10 ، 100 ، 1000 ، ... إلخ

نعلم أن 1 = 10صفر إذن لو1 = صفر
10 = 10 1 إذن لو10 = 1
100 = 10 2 إذن لو 100 = 2
للمناقشة : كم لو 100000 ؟

ثانياً : لوغاريتمات الأعداد

، 0.01 ، 0.001 ... الخ
$اللوغاريتمات 1_10$
0.1

قبل أن نستطرد في تحديد لوغاريتمات هذه الأعداد علينا أن نذكر الدارسين بأن
0.1 = 10 -1 وأن 0.01 = 10 -2 ، وأن 0.001 = 10 -3 ... وهكذا
أثبت أن 0.1= 10-1

؟
$اللوغاريتمات 10_100$ الحل : ما ناتج
= 0.1
$اللوغاريتمات 10_100$ إذن

ونكتبه بطريقة أخرى هي 0.1

$اللوغاريتمات 1_10$

الجواب بديهي وهو

إذن 0.1 = 10-1

لأن 100 = 10 2
$اللوغاريتمات 10_10$ =
$اللوغاريتمات 10_100$ ولكن

وبطريقة مماثلة 0.01 = 10-2 ¬ 0.001 = 10-3 ... وهكذا
بما أن
0.01 = 10-2 إذن لو 0.01 = ـ2
0.1 = 10-1 إذن لو 0.1 = ـ1
0.001 = 10-3 إذن لو 0.001 = ـ3
للمناقشة : كم لو 0.000001 ؟
الحل : 0.000001 = 10-6
إذن 0.000001 = لو 10 -6= -6

الخلاصة :
إذا أمكن التعبير عن العدد بالطريقة 10ن حيث ن عدد صحيح موجب أو سالب أو صفر أي إذا كان
س = 10ن ، فإن لو س = ن حيث ن عدد صحيح أو صفر كما فرضنا أعلاه .
باختصار :
لوغاريتم العدد 1 = صفر ، أما الأعداد 10 و 100 و 1000 الخ ...
فلوغاريتمها عدداً صحيحاً موجباً ، وأما الأعداد 0.1 ، 0.01 ، 0.001
فلوغاريتمها عدداً صحيحاً سالباً .

كيف نجد لوغاريتم عدد معروف
كم لو 10000 ؟
الحل : لو 10000 = لو 10 4 = 4

كم لو 0.001 ؟
الحل : لو 0.001 = لو 10-3 = ـ3

كيف نحدد لوغاريتمات الأعداد الأخرى ؟
1) مثلاً : كم لوغاريتم العدد 25 ؟
الحل : يكن أن نكتب المتباينة 10 < 25 < 100

وبناءً على ذلك لو 10 < لو 25 < لو 100

ولكن لو 10 = 1 ، لو 100 = 2
إذن 1 < لو 25 < 2
ويمكن أن نعبر عن ذلك بعبارة كلامية فنقول
لو 25 أكبر من (1) وأصغر من (2) .
إذن لو 25 = 1 + كسر (ولكن ليس 1 + 1 لأنه في هذه الحالة يصح لو 25 = 2 وهذا غير صحيح لأن 2 هي لوغاريتم العدد 100) .
ولكن كم مقدار هذا الكسر ، هذا ما سنعرفه بعد قليل .

كيف نجد لوغاريتم عدد معروف

3) كم لوغاريتم العدد 85.27 ؟
الحل : لو 85.27 = 1 + كسر
عموماً : إذا كان العدد س أكبر من عشرة وأقل من مائة أي 10 < س < 10
فإن لو س = 1 + كسر
2) كم لوغاريتم العدد 77 ؟
الحل : نكتب متباينة العدد 10 < 77 < 100
إذن لو 77 = 1 + كسر
ويبقى السؤال كم مقدار الكسر في هذه الحالة ؟ لا شك أنه يختلف عن كسر لوغاريتم العدد 25 .
5) كم لو 4.523 ؟
الحل : بإجراء محاكمة كالسابقة
1 < 4.523 < 10
صفر< لو4.523 < 1
لو 4.523 = كسر " كم قيمته ؟ "
الخلاصة : إذا كان العدد ص أكبر من 1 وأصغر من 10 فإن لو ص = كسراً .
4) كم لو 7 ؟
الحل: نكتب 1 < 7 < 10
وبناءً عليه لو 1 < لو 7 < لو 10
لكن لو 1 = صفر لو 10 = 1
إذن صفر < لو 7 < 1
إذن لو 7 = كسر ولكن كم هو
7) كم لو 52 ؟
الحل: 52 = 5.2 × 10 1
إذن لو 52 = لو 5.2 × 10 1
وبما أن اللوغاريتم هو شكل من أشكال القوة ، وبما أن القوى تجمع عند الضرب
إذن لو 52 = لو 5.2 + لو 10 1

= لو 5.2 + 1
لكن لو 5.2 = كسراً لأن 1 < 5.2 < 10
6) كم لو 0.42
الحل : يمكن أن نكتب 0.1 < 0.42 < 1
إذن ـ1 < لو 0.42 < صفر
إذن لو 0.42 عبارة عن عدد سالب أكبر من ـ1 ( لأنه محصور بين ـ1 ، صفر)
إذن لو 0.42 = كسراً سالباً
وعموماً لوغاريتم أي عدد محصور بين 0.1 ، 1 أي 0.1 < س < 1 يكون لو س = كسراً سالباً
9) كم لو 0.0001 ؟
الحل : 0.0001 = 10-4
\ لو 0.0001 = -4
Cool

كم لو 1000 ؟ الجواب لو 1000 = 3

لقد
تساءلنا سابقاً ونتساءل الآن كم مقدار هذا الكسر ، لقد حسب هذا الكسر
وغيره من الكسور الخاصة بلوغاريتمات الأعداد الأخرى وهي معروفة ومطبوعة في
الكتب أو في جداول خاصة وعليك أن تتعرف على كيفية استخراجها من هذه الجداول
.

يمكنك أيضاً الحصول على لوغاريتمات الأعداد باستخدام الآلات الحاسبة أو من الحاسوب .
أولاً : الحصول على لوغاريتم عدد من الجداول اللوغاريتمية :
سنوضح لك فيما يلي طريقة استخدام الجداول في الحصول على لوغاريتمات الأعداد ، وحتى تساعد نفسك وتساعدنا في توضيح الأمر يجب أن تضع أمامك الآن جدولاً مطبوعاً من جداول اللوغاريتمات معنوناً كما يلي :
لوغاريتمات
الأعداد للأساس (10) وهذا الجدول يعطي الشق الكسري الموجب من اللوغاريتمات
لكل الأعداد الموجبة الصحيحة والكسرية مهما كانت قيمتها .

مكونات
الجدول اللوغاريتمي : يتكون الجدول اللوغاريتمي من مجموعة أعمدة العمود
الأول يطبع فيه العدد المراد إيجاد لوغاريتمه ، أما بقية الأعمدة وعددها 10
في بعض الجداول أو 19 في جـداول أخرى فيطبع فيها الشق الكسري من
اللوغاريتم مقرباً لأربع منازل عشرية أو أكثر أو أقل .
ولكننا
نعلم أن لوغاريتمات الأعداد الأكبر من العدد (10) يكون في لوغاريتمها
عدداً صحيحاً موجباً يعتمد على عدد منازلها ، وأن لوغاريتمات الأعداد
الكسرية 0.1 ، 0.001 يكون في لوغاريتمها عدداً صحيحاً سالباً يعتمد على عدد
المنازل العشرية فيها .
تسمى
هذه الأعداد الصحيحة الموجبة أو السالبة باسم الأعداد البيانية وهي لا
تطبع لأنه يمكن للدارس أن يحدد قيمتها بسهولة ، أما القيمة الكسرية فلا
يستطيع أن يحددها بنفسه وهي لذلك توضع في هذه الجداول .

- ما مجموعة الأعداد التي يكون لوغاريتمها كسراً موجباً فقط ؟
تعلم مما سبق أن لو1 = صفر (1 = 10صفر)
وأن لو 10 = 1 (10 = 10 1)
فما مقدار لو 6 ؟

لا
شك أنه أكبر من صفر لأن 6 > 1 ، وأصغر من 1 لأن 6 < 10 ، ولكن أي
عدد أكبر من صفر وأصغر من 1 هو كسر ، إذن لوغاريتم أي عدد تنطبق عليه
العلاقة 1 < س < 10 يكون لوغاريتمه كسراً فقط ، هذا الكسر هو الذي
تجده في الجداول .

مثال : أوجد لو2.9
انظر في جدولك على العمود الأول للعدد 2.9 (أو 29) تحت العمود الموضوع فوقه
(صفر) تجد الرقم 4624 وهو بالطبع ليس عدداً صحيحاً بل كسراً عشرياً هو
0.4624 وبالنظر لأنه معروف للجميع أنه كسر وتسهيلاً للطباعة فكل أرقام
اللوغاريتم طبعت بهذا الشكل ، وعند كتابة اللوغاريتم يقوم الدارس بإضافة
الفاصلة العشرية .
إذن لو 2.9 = 0.4624
فماذا عن لو 29 ؟
إذا تذكرت أن 29 = 2.9 × 10
يكون لو 29 = لو 2.9 × 10
= لو 2.9 + لو 10
= 0.4624 + 1

لو 29 = 1.4624
وماذا عن لو 290 ؟
لو 290 = لو 2.9 × 100
= لو 2.9 + لو 100
= 0.4624 + 2
= 2.4624

أيمكنك أن تكتب لو 2900
لو 29000
لو 2.9 × 10 8
اكتبها بنفسك

وماذا عن لو 0.29

$اللوغاريتمات 2.9_10_2$

يمكنك أن تكتب 0.29 =

= 2.9 × 10-1

إذن لو 0.29 = لو 2.9 × 10-1
= لو 2.9 + لو 10-1
= 0.4624 + ( ـ1)
= 0.4624 ـ 1
إذن لو 0.29 هو كسر سالب (ـ 0.5376)
ولكنه يكتب في الجداول عادة على شكل كسر ونحنُ نضع العدد البياني بأنفسنا .
لو 0.29 = 1.4624-
حيث يكون الشق الكسري موجباً والعدد الصحيح سالباً .

- ما لو 0.029 ؟
الحل :

= 1 وأن الضرب في 1 لا يغير قيمة العدد)
$اللوغاريتمات 100_100$

تذكر أن

$اللوغاريتمات 100_100$
0.029 = 0.029×

بالضرب في البسط وترك المقام
$اللوغاريتمات 2.9_100$ =
$اللوغاريتمات 2.9_10$

=

= 2.9 × 10-2
إذن لو 0.029 = لو 2.9 × 10-2
= لو 2.9 + لو 10-2
= 0.4624 + (ـ2)
= 0.4624 ـ 2
= 2.4624-

تدريبات :
1) أ- أوجد لو 5.2 باستخدام الجدول .
ب- كم لو 52 ؟

2) إذا كان لو 7.821 = 0.8933 ، فالمطلوب ايجاد لوغاريتمات الأعداد :

أ- 78.21 ب- 782.1
ج- 7821 د- 782100

3) إذا كان لو 3.465 = 0.5397 ، فالمطلوب ايجاد لوغاريتمات الأعداد :
أ- 3.465 × 10-2 ب- 0.3465
ج- 0.03465 د- 0.3465 × 10-4

الإجابات

تدريبات :
1) من الجداول : أ- لو 5.2 = 0.7160
ب- لو 52 = 1.7160

2) أ - لو 78.21 = 1.8933
ب- لو 782.1 = 2.8933
ج- لو 7821 = 3.8933
د- لو 782100 = 5.8933

3) أ- لو 3.465 × 10-2 = 2.5397-
ب- لو 0.3465 = 1.5397-
ج- لو 0.03465 = 2.5397-
د- لو 0.3465 × 10-4 = 5.5397-

الصورة القياسية لكتابة العدد للحصول على الشق الكسري للوغاريتم .
عرفت
مما سبق أن لوغاريتم أي عدد أكبر من (1) وأصغر من (10) هو كسر عشري لذلك
تعتبر الصورة لو 5 أو لو 7.31 أو أي عدد يحوي منزلة الآحاد فقط أو منزلة
الآحاد وعدد من المنازل العشرية الصورة القياسية للوغاريتم لأن لوغاريتم أي
عدد هذه أوصافه يكون كسراً موجباً فقط .
يمكن أن نكتب أي عدد مستفيدين من الصورة القياسية مثلاً العدد 23.27 يمكن كتابته كما يلي :
23.27 = 2.327 × 10 1
والعدد 4611.2 = 4.6112 × 10 3
والعدد 0.0517 = 5.17 × 10 -2
والعدد 0.0007 = 7.0 × 10 -4
يمكننا
كتابة الأعداد بهذه الصورة من ايجاد لوغاريتماتها بسهولة فالشق الكسري
نستخرجه من الجدول أما العدد البياني فنحصل عليه من قوة العشرة .

مثال (2) : أوجد لو 0.462 × 10 -6
الحل : نكتب العدد بالصورة القياسية كما يلي :
0.462 × 10-6 = 4.62 × 10 -7
لو 0.462 × 10-6 = لو 4.62 × 10-7
= 0.6646 + (ـ7)

[center] $اللوغاريتمات 55$

مثال (1) : أوجد لو 68.7
الحل :
68.7 = 6.87 × 10 1
لو 68.7 = لو 6.87 + لو 10 1
لو 6.87 ممن الجداول = 0.8370
إذن لو 68.7 = 0.8370 + 1
= 1.8370
[/center]
مثال (3) : أوجد لوغاريتم العدد 54812
الحل : العدد 54812 = 5.4812 × 10 4
إذن المطلوب ايجاد لو 5.4812
باستخدام
الجداول نضع المسطرة بشكل مستقيم مبتدئين من عمود العدد 5.4 ثم نقرأ الرقم
الموجود تحت عمود ( Cool

في الأعمدة العشرة الأولى فنجد 7388 ، ثم نقرأ الرقم
(1) تحت العمود (1) في الأعمدة التسعة الأخيرة
فنجد (1) نجمع 7388 + 1 = 0.7389

إذن لو54812 = 4.7389
العدد البياني (4) وهذا واضح من كون
54812 = 5.4812 × 10 4

تدريبات :
تدريب 1 : باستخدام الجداول أوجد لوغاريتمات الأعداد الآتية :
1) 8.3 2) 7.52 3) 6.405 4) 87.1 5) 322.6
6) 1425 7) 281213 Cool

0.625 9) 0.0421 10) 0.2533 × 10-3
تدريب
2 : فيما يلي عمودان يحتوي الأول على مجموعة أعداد ويحتوي العمود الآخر
على لوغاريتمات هذه الأعداد (وغيرها) غير مرتبة ، رقِّم اللوغاريتمات في
العمود الثاني بحيث تتوافق مع كل رقم في العمود الأول . لمساعدتك وضعنا
حلاً لأحدها .

اللوغاريتم العدد) 3.97
1) 100
) 1.9-
2) 0.01
) 3
3) 47.85
) 1.68
4) 7.943
) 1
5) 9300
) 2-
6) 794.3
4) 0.9
7) 10
) 2
0.7943
) 2.9
9) 1000
) 4.9
10) 0.07943
) 2.9-
) 3-
الإجابات تدريب (1)
1) 0.9191 2) 0.8762 3) 0.8065
4) 1.9400 5) 2.5087 6) 3.1538
7) 5.4490 Cool

1.7959- 9) 2.6243-
10) 4.4038-

تدريب (2)

اللوغاريتم العدد5) 3.97
1) 100
1.9-
2) 0.01
9) 3

3) 47.85
3) 1.68
4) 7.943
7) 1
5) 9300
2) 2-
6) 794.3
4) 0.9
7) 10
1) 2
0.7943
6) 2.9
9) 1000
) 4.9
10) 0.07943
10) 2.9-
) 3-

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

استخدام الآلة الحاسبة في إيجاد لوغاريتمات الأعداد

تمهيد
: تستخدم الآلات الحاسبة في هذه الأيام في الكثير من العمليات الحسابية
البسيطة والمعقدة ، ويمكنك الحصول على لوغاريتمات الأعداد من الآلات
الحاسبة العلمية بسهولة .

إيجاد لوغاريتم العدد باستخدام الآلة .
مثال (1) : أوجد لوغاريتم العدد 7.75 باستخدام الآلة الحاسبة .

الحل : 1) اضغط log .
2) اضغط العدد 7.75 .
3) اضغط إشارة = تحصل على اللوغاريتم وهو : 0.889301702
وبالطبع يمكنك أن تقرب هذا العدد إلى أي عدد من المنازل ولنوضح ذلك بالأمثلة التالية :
لو 7.75 = 0.8893 مقرباً لأربع منازل عشرية .
= 0.889 مقرباً لثلاث منازل عشرية .
= 0.89 مقرباً لمنزلتين عشريتين .
= 0.9 مقرباً لمنزلة عشرية واحدة .

مثال (2) : أوجد لوغاريتم العدد 47 باستخدام الآلة الحاسبة .
الحل : 1) اضغط log .
2) اضغط العدد 47 .
3) اضغط إشارة = تحصل على اللوغاريتم وهو 1.672097858 . لاحظ أنك حصلت على
اللوغاريتم كاملاً العدد البياني والجزء العشري وهي بهذا تختلف عن الجداول التي لا تعطي
العدد البياني .

ويمكن تقريب هذا العدد إلى أي عدد من المنازل :
لو 47 = 1.6721 مقرباً لأربع منازل عشرية .
= 1.672 مقرباً لثلاث منازل عشرية .
= 1.67 مقرباً لمنزلتين عشريتين .
= 1.7 مقرباً لمنزلة عشرية واحدة .

ثانياً : استخدام الآلة الحاسبة في إيجاد لوغاريتمات الأعداد

مثال (3) : أوجد لوغاريتم العدد 720.6 باستخدام الآلة الحاسبة .
الحل : 1) اضغط log .
2) اضغط العدد 720.6 .

3) اضغط إشارة = فتحصل على اللوغاريتم وهو 2.857694258 . لاحظ أن
الآلة أعطتك اللوغاريتم كاملاً العدد البياني والجزء العشري ، وهي بهذا
تختلف عن الجداول التي تعطيك الكسر العشري من اللوغاريتم ، أما العدد
البياني فهو معروف لك من عدد المنازل الصحيحة التي يحتويها العدد المراد
معرفة لوغاريتمه إذا كان العدد صحيحاً أو عدداً كسرياً ، ومن عدد المنازل
العشرية إذا كان العدد كسراً (أصغر من الواحد الصحيح) .

مثال (4) : أوجد لوغاريتم العدد 0.2325 باستخدام الآلة الحاسبة .
الحل : 1) اضغط log .
2) اضغط العدد 0.2325

3) اضغط إشارة = تحصل على الجواب وهو -0.633577042 لقد حصلت على
اللوغاريتم مباشرة بقيمته السالبة ، وهذا أمر يختلف عن الجداول اختلافاً
جذرياً . فلو بحثت عن لوغاريتم 0.2325 في الجداول لوجدته 0.3664 (مقرباً
لأربع منازل عشرية وقيمته موجبة) ، طبعاً دون العدد البياني وهو في حالتنا
هذه (-1) لأن 0.2325 = 2.325 × 10-1
إذن لو0.2325 = 1.3664- والآن كيف نثبت أن لوغاريتم العدد 0.2325 الذي حصلنا عليه من الآلة الحاسبة أو من الجداول هو نفسه ؟

الإثبات :
لو 0.2325 = -0.633577042 من الآلة الحاسبة
= -0.6336 من الآلة الحاسبة مقرباً لأربع منازل عشرية فقط .
= -0.6336 + 1 - 1 بإضافة وطرح ( 1 ) .
= +0.3664 – 1
= 1.3664- وهو نفس اللوغاريتم الذي حصلت عليه من الجداول بعد إضافة العدد البياني

لا شك أنك تدرك أن اللوغاريتم الذي تحصل عليه من الآلة أو من الجدول هو نفسه ، وأن الفرق بينهما هو في الشكل فقط .
أي أن : -0.6336 = 1.3664-
|-0.6336| + |0.3664| = 1
وباختصار مجموع القيمة المطلقة لكسري اللوغاريتم من الآلة والجداول يساوي ( 1 ) .

فمثلاً
إذا حصلنا على لوغاريتم عدد من الآلة الحاسبة وكان مقرباً لأربع منازل
عشرية مثل -0.2884 يكون لوغاريتم نفس العدد في الجداول مع إضافة العدد
البياني يساوي 1.7116- وذلك لأن |-0.2884| + |0.7116| = 1

مثال (5) : جد باستخدام الآلة لوغاريتم العدد 0.003215 وقارنه مع اللوغاريتم الذي تحصل عليه من الجداول .
الحل : 1) اضغط log .
2) اضغط العدد 0.003215 .
3) اضغط إشارة = تحصل على اللوغاريتم وهو -2.492819023
إذن
لو 0.003215 = - 2.4928 مقرباً لأربع منازل عشرية والآن ماذا تتوقع أن تجد
في الجداول لو بحثت عن لوغريتم العدد 0.003215 ، إنك ستجد 0.5072 وهو الشق
الكسري الذي هو لوغاريتم العدد 3.215 فإذا تذكرنا أن :
0.003215 = 3.215 × 10-3
إذ لو 0.003215 = لو 3.215 × 10-3
= 3.5072-
= +0.5072 – 3
= -2.4928 وهو اللوغاريتم الذي حصلت عليه من الآلة .

للمناقشة :

من البديهي أنه يوجد للعدد 1 لوغاريتم 1 لذلك فإن اللوغاريتم الذي نستخرجه
من الجداول أو من الآلة لذات العدد إن اختلف فإنه يكون مجرد اختلافٍ شكلي
تماماً كاختلاف شكل الإنسان حينما يغيِّر قميصه الأبيض إلى قميص بيج .

سؤال : كيف يمكنك أن تستخدم الجداول أو الآلة الحاسبة وتحصل على نفس الشكل لقيمة اللوغاريتم لأي عددٍ مهما كانت
قيمة هذا العدد مثلاً : أ) أوجد لوغاريتم العدد 567.5
ب) ما العدد الذي لوغاريتمه = 0.0237

تدريبات :
1) استخدم الآلة الحاسبة في إيجاد لوغاريتمات الأعداد التالية :
أ- 4 ب- 92 ج- 822.5
د- 0.5 هـ- 0.67 و- 0.06
ز- 0.009 ح- 0.0007 ط- 0.00006321
ي- 13.0721

2) أكمل الفراغات في العمودين التاليين مستخدماً الآلة أو الجداول . تحد مثالاً محلولاً في البداية . قرب اللوغاريتم لأربع منازل عشرية .

العدد اللوغاريتم من الآلة الحاسبة اللوغاريتم من الجداول
0.0043 -2.3665 3.6335-

1) 18
2) 111.3
3) 56423
4) 0.83
5) 7.95 × 10-2
6) 0.311 × 10-3
7) 0.54 × 10-5
36 × 10-3
9) 2.452 × 10-4
10) 0.59 × 10-1

الإجابات

إجابات التدريبات :
1)
أ- 0.602059991
ب- 1.963787827
ج- 2.915135907
د- -0.301029995
هـ- -0.173925197

و- -1.22184875
ز- -2.045757491
ح- -3.15490196
ط- -4.19921421
ي- 1.116345362

2)
العدد اللوغاريتم (آلة حاسبة) اللوغاريتم (جدول)
1) 18 1.2553 1.2553
2) 111.3 2.0465 2.0464
3) 56423 4.7515 4.7515
4) 0.83 -0.0809 1.9191-
5) 7.95 × 10-2 -1.0996 2.9004-
6) 0.311 × 10-3 -3.5072 4.4928-
7) 0.54 × 10-5 -5.2676 6.7324-
36 × 10-3 -1.4437 2.5563-
9) 2.452 × 10-4 -3.6105 4.3896-
10) 0.59 × 10-1 -1.2291 2.7709-