شرح مبسط لدروس " مبدا العد + التباديل + التوافيق " مع امثلة

الدرس الثاني ::
التباديل ::

ان
من اهم التطبيقات لمبدأ العد الاساسي استخدامه في معرفة عدد طرق التي يتم
بها ترتيب عناصر مجموعة ما بكل الطرق الممكنة فمثلا اذا كان لدينا 3 كتب
مختلفة هي :: رياضيات , فيزياء , احياء . واردنا ترتيبها متجاورة على رف
بكل الطرق الممكنة فاننا نحصل على التراتيب التالية ::

المكان الاول المكان الثاني المكان الثالث
رياضيات فيزياء احياء
رياضيات احياء فيزياء
احياء رياضيات فيزياء
احياء فيزياء رياضيات
فيزياء رياضيات احياء
فيزياء احياء رياضيات

اذن عدد التراتيب =6
نسمي كل تريتب تبديلاً

بوجه عام ::
تعريف ::
التبديل لمجموعة مكونة من ن من العناصر هو اي ترتيب لعناصر هذه المجموعة يرمز لعدد جميع هذه التراتيب (التباديل) بالرمز ل(ن,ن).

مثال(1)::
اراد اربعة اشخاص اخذ صورة جماعية بوقوفهم معا في صف واحد بكم طريقة مختلفة يمكن ان يصطف هؤلاء الاشخاص ؟؟

الحل::
الطرق
المختلفة لاصطفاف الاشخاص هي التباديل المختلفة لمجموعة مكونة من اربعه
عناصر اي ل(4,4) ولايجاد ل(4,4) يمكننا تصور المواقع الاربعة التي يقف بها
الاشخاص الاربعة هكذا ::
يمكن اشغال الموقع الاول بِ4 طرق
يمكن اشغال الموقع الثاني بِ3 طرق
يمكن اشغال الموقع الثالث بِ2 طرق
يمكن اشغال الموقع الرابع بِ1 طرق

عدد جميع الطرق = 4*3*2*1=24 طريقة
اي ان ل(4,4) = 4*3*2*1=24


و بوجه عام ::
اذا كانت س مجموعة عدد عناصرها ن , فان عدد تباديل (تراتيب) هذه العناصر يساوي ل(ن,ن) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
و اختصارا في كتابة حاصل الضرب ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1 فاننا نكتبه على صورة ن! وتقرأ مضروب ن ((n factorial

تعريف ::
اذا كان عددأ صحيحيا موجبا فان مضروب فان مضروب ن (ويرمز له بالرمز ن! ) يعرف هكذا::
ن!= ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
0! = 1
اي ان مضروب ن يساوي حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية تبدأ بالعدد ن و تنتهي بالعدد 1


مثال (2)::
جد ناتج 5!
الحل::
5!=5*4*3*2*1=120

مثال (3)::
بين ان 8!=56*6!
الحل::
الطرف الايمن
8!=8*7*6*5*4*3*2*1
=8*7*(6*5*4*3*2*1)
=8*7*6!
=56*6!


مثال (4)::
اكتب كلا مما يلي باستخدام رمز المضروب
أ- 5*4*6*3*1*2
ب- 10*9*8
ج- ن(ن^2-1)

الحل::
أ‌- 5*4*6*3*1*2 =6*5*4*3*2*1=6!
ب‌- 10*9*8 = 10*9*8*7!\7! =10!\7!
ج- ن(ن^2-1) = ن(ن-1)(ن+1)
= (ن+1)*ن*(ن-1)
=(ن+1)*ن*(ن-1)*(ن-2)!\(ن-2)!
=(ن+1)!\(ن-2)!

مثال (5)::
اذا كان ن! = 720 فما قيمة ن ؟

الحل::
ن!
= حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها ن و اصغرها 1 لذا نكتب
الطرف الايسر على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اصغرها 1 فيكون اكبرها ن .
720 = 6*5*4*3*2*1 = 6!
ن = 6

ملاحظة ::
تم اخراج العوامل عن طريق التحليل
270/1=270
270/2=360
360/3=120
120/4=30
30/5=6
6/6=1


مثال (6)::
اذا كان ن!\(ن-2)! = 20 فما قيمة ن ؟

الحل::
ن!\(ن-2)! =20
ن(ن-1)(ن-2)!\ (ن-2)! =20
ن(ن-1) = 20
ن^2-ن-20 = 0
(ن-5)(ن+4)=0
ن = 5 , -4 و يرفض الجواب السالب
اذن ن = 5


تباديل ن من العناصر المختلفة مأخوذة راءً راءً ::
في
كثير من الاحيان نهتم بترتيب بعض عناصر مجموعة من الاشياء المختلفة و ليس
جميعها فاذا كان لدينا 4 كتب هي :: علوم , رياضيات , جغرافيا , اقتصاد و
اردنا ترتيبها اثنين اثنين في كل مرة فان التراتيب الممكنة هي ::

علوم , رياضيات
علوم , جغرافيا
علوم , اقتصاد

رياضيات , علوم
رياضيات , جغرافيا
رياضيات , اقتصاد


جغرافيا , علوم
جغرافيا , رياضيات
جغرافيا , اقتصاد

اقتصاد , علوم
اقتصاد , رياضيات
اقتصاد , جغرافيا

اي ان عدد تباديل اربعة اشياء مأخوذة اثنين اثنين في كل مرة يساوي 12 و بالرموز ل(4,2)

وبوجه عام ::
يستخدم الرمز ل(ن,ر) للدلالة على تباديل ن من الاشياء المختلفة مأخوذة راءً راءً في كل مرة

مثال (7)::
اشترك
6 متسابقين في المونديال الاول للرياضيات . بكم طريقة يمكن ان تظهر فية
نتيجة السباق للمراكز الثلاثة الاولى علما بأنه لم يحل اثنان في المركز
نفسه ؟

الحل::
يمكن ملء المركز الاول بِ 6 طرق
يمكن ملء المركز الثاني بِ 5 طرق
يمكن ملء المركز الثالث بِ 4 طرق
اي يمكن ملء المراكز الثلاثة الاولى بطرق عددها 6*5*4=120 طريقة

لاحظ ان كل طريقة من هذة الطرق هي ترتيب لثلاثة متسابقين من بين المتسابقين الستة و بالرموز ::
ل(6 , 3)= 6*5*4=120
لاحظ ايضا ان ل(6 , 3) يساوي حاصل ضرب ثلاثة اعداد طبيعية تبدأ بالعدد 6



بوجه عام ::
نظرية ::
ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1) حيث ر,ن عددان طبيعيان
ر اكبر او تساوي ن

اي ان ل(ن,ر) يساوي حاصل ضرب من الاعداد الطبيعية المتتالية اولها ن و آخرها (ن- ر+1)

البرهان ::
ل(ن,ر) تعني عدد تباديل ن من الاشياء مأخوذة راءً راء ً في كل مرة
فاذا تصورنا راءً من الاماكن الخالية فانة يمكن ملء المكان الاول بطرق عددها ن ويمكن ملء المكان الثاني بطرق عددها ن-1 = ن-(2-1)
ويمكن ملء المكان الثالث ن-2 = ن – (3-1)
وهكذا . . .
و يمكن ملء المكان الاخير ( الرائي ) بطرق عددها ن- (ر-1)=ن- ر+1
اذن يمكن ملء جميع الاماكن بطرق عددها ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
اي ان ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
مثال (8::
جد قيمة كل من : ل(10 ,3) , ل(5 ,4)

الحل ::
ل(10 ,3) = 10*9*8 = 720
ل(5 ,4) = 5*4*3*2 = 120



نتيجة (1)::
ل(ن,ر) =ن! \ (ن- ر)!

البرهان ::
ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
و بضرب المقدار (ن-ر)! وبالقسمة علية يكون ::
ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1) *(ن-ر)!\ (ن-ر)!

= ن! \ (ن- ر)!

نتيجة (2)::
ل(ن , 0 ) = 1


لان :: ل(ن , 0 ) = ن! \ (ن- 0)! (من نتيجة (1) )

= ن!\ن! = 1


مثال(9)::
اذا كان ل(ن,2)=90 فما قيمة ن ؟؟

الحل::
هناك طريقتان لحل هذا المثال ::
الطريقة الاولى ::
الطرف
الايمن ل(ن,2) يساوي حاصل ضرب عددين طبيعيين متتاليين اكبرهما ن لذا نكتب
الطرف الايسر على صورة حاصل ضرب عاملين متتاليين فيكون اكبرهما = ن
90 = 10*9
ن = 10

الطريقة الثانية ::
ل(ن,2) = ن(ن-1) =90
ن^2- ن = 90
ن^2- ن - 90 = 0
(ن-10)(ن+9) = 0
اما ن = 10 او ن = -9 (ترفض)
اذن ن = 10


مثال(10)::
اذا كان ل(7 , ر) = 840 فما قيمة ر؟؟

الحل ::
الطرف
الايمن ل( 7 , ر) = حاصل ضرب ر من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها 7 ,
لذا نكتب العدد 840 على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اكبرها 7
فيكون 840 = 7*6*5*4
اي ان ل( 7 , ر) = 7*6*5*4
ر = 4

840\7=120
120\6=20
20\5=4
4\4=1





تمارين ومسائل للذي او للتي تحب ان تجيب ::
1- حل/ي المعادلة ::
ل(ن^2+1 , 3) = 10ن*ل(ن+1, 3)

2- اثبت/ي ان ::
(2ن)!\ن! = 2^ن(1*3*5* . . . *(2ن- 1)

لدرس الثالث ::

التوافيق ::
الجزء الاول ::

عرفنا ان التباديل هي اختيارات مرتبة يمكن تكوينها من مجموعة من الاشياء
مأخزذة كلها او بعضها في كل مرة , وفي بعض الاحيان نحتاج الى اجراء اختيار
دون ترتيب كمكا يحصل مثلا عند تشكيل لجنة خماسية من الاعضاء يتم اختيارهم
من بين 30 عضو او تكوين مجموعة من 3 عناصر مأخوذة من مجموعة عدد عناصرها 5
عناصر او . . . الخ فهذه الحالات لا يكون الترتيب فيها ذا اهمية


مثال(1)::
بكم طريقة يمكن اختيار 3 كتب من بين خمسة كتب هي :: علوم , رياضيات تكنولوجيا , ادارة ,تاريخ ؟

الحل::
جميع الاختيارات الممكنة هي ::
(علوم , رياضيات , تكنولوجيا ) , (علوم , ادارة ,تاريخ )
(علوم , رياضيات , ادارة ) , (رياضيات , تكنولوجيا , ادارة )
(علوم , رياضيات , تاريخ ) , (رياضيات , ادارة , تاريخ )
(علوم , تكنولوجيا , ادارة ) , ( رياضيات , تكنولوجيا , تاريخ )
(علوم , تكنولوجيا , تاريخ ) , (تكنولوجيا , ادارة , تاريخ )

عدد الاختيارات يساوي 10 , يسمى كل اختيار من هذه الاختيارات توفيقا .
لاحظ ان الترتيب في كل اختيار غير مهم فالاختيار (علوم , رياضيات ,
تكنولوجيا ) هو نفسة ( رياضيات , علوم , تكنولوجيا) وهو نفسه (تكنولوجيا ,
رياضيات , علوم ) , . . .

بوجه عام ::
تعريف ::
التوافيق :: هي اختيارات غير مرتبة ( مجموعة جزئية لها عدد العناصر نفسه )
يمكن تكوينها من مجموعة من الاشياء مأخوذة راءً راءً في كل مرة بالرمز
و تقرأ : n فوق r , حيث n , r عددان طبيعيان , r اكبر او تساوي من n

نظرية ::
=
L(n , r ) \ r!


برهان ::
التوافيق هي اختيارات غير مرتبة فاذا ما رتبنا عناصر كل توفيق التى عددها

فانه ينتج لدينا
*r!
من التباديل
اي ان L(n , r ) =
*r!

اذن =
L(n , r ) \ r!

وهو المطلوب


نتيجة (1)::
=
n!\r!*(n-r)!


مثال(1)::
جد قيمة

الحل::
=
ل(7 , 3 ) \3!
7*6*5\3*2*1=35

مثال(2)::
مدرسة فيها 15 معلما , يراد تشكيل لجنة مكونة من 4 معلمين بكم طريقة يتم ذلك ؟

الحل::
عدد طرق تشكيل اللجنة =
=
ل(15 , 4 )\4!=
15*14*13*12\4*3*2*1=1365 طريقة



مثال(3)::
التقى 4 اصدقاء فصافح كل منهم الاخر , كم مصافحة تمت بين الاصدقاء ؟؟

الحل::
عدد المصافحات =
=
ل(4,2)\2! =
4*3\2*1 = 6 مصافحات

اذا رمزنا للاصدقاء الاربعة بالرموز أ , ب , ج , د فان المصافحات بين كل اثنين تمثلها المجموعة الجزئية التالية ::
(أ , ب ) , ( أ , ج ) , ( أ , د) , ( ب , ج ) , ( ب ,د ) , ( ج , د) وهذه 6مجموعات

نتيجة(2)::
=


البرهان ::
الطرف الايمن =
=
ن!\ ر!*(ن- ر)!

الطرف الايسر =

ن!\(ن- ر)!*(ن- (ن – ر )! =
ن!\(ن- ر)!*(ن- ن + ر )! =
ن!\(ن- ر)!* ر!
الطرفان متساويان
وهذه النتيجة تقول ان عدد توافيق ن من العناصر مأخوذة راءً راءً في كل مرة
يساوي عدد توافيق ن من العناصر مأخوذة (ن- ر) في كل مرة و هذا واصح لان
تكوين مجموعة جزئية من 3 عناصر من بين 10 عناصر مثلا يقابله مباشرة تكوين
مجموعة جزئية من 7 عناصر من نفس المجموعة اي ان عدد المجموعات الجزئية
الثلاثية لمجموعة مكونة من 10 عناصر مختلفة يساوي عدد المجموعات الجزئية
السباعية للمجموعة اي ان ::
=




نتيجة(3)::
اذا كان
=


فان ::
x = y او x + y = n[/b]

الجزء الثاني ::

مثال(5)::
صف مخطلط فيه 10 طالبات , 7 طلاب يراد اختيار لجنة مكونة من 3 طالبات و طالبين . بكم طريقة يتم ذلك ؟

الحل ::
عدد طرق اختيار الطالبات =
=
10!\3!*7! = 10*9*8*7!\3*2*1*7! =
= 120 طريقة

عدد طرق اختيار الطلاب =
=
7!\2!*5! = 7*6*5!\2*5! =
= 21 طريقة

اذن عدد طرق اختيار اللجنة كاملة =